Dans cet article, nous allons nous intéresser à la logique. Considérons les chats ci-dessous.
En regardant les chats, il est possible de trouver certaines propriétés. Par exemple, nous avons les deux propriétés suivantes :
Propriété n°1 : Si un chat est rouge, alors il porte un chapeau.
Propriété n°2 : Si un chat porte un nœud papillon, alors il est bleu.
Je vous invite à vérifier que ces propriétés sont vraies en regardant tous les chats.
Regardons maintenant si les réciproques de ces propriétés sont vraies.
Pour rappel, lorsque l'on a une propriété de la forme « Si A alors B », la propriété réciproque est « Si B alors A ».
Réciproque de la propriété n°1 : Si un chat porte un chapeau, alors il est rouge.
Réciproque de la propriété n°2 : Si un chat chat est bleu alors il est porte un nœud papillon.
À vous de jouer : regardez si ces réciproques sont vraies ou non !
Solution : (survolez pour afficher)
Il est très facile de voir que ces deux réciproques ne sont pas vraies.
La réciproque de la propriété n°1 n'est pas vraie car on peut trouver un chat qui porte un chapeau mais qui n'est pas rouge :
La réciproque de la propriété n°2 n'est pas vraie car on peut trouver un chat qui est bleu mais qui n'a pas de nœud papillon.
Intéressons-nous maintenant à la propriété suivante :
Propriété n°3 : Si un chat est vert, alors il a un bandeau.
Vous pouvez vérifier que cette propriété est vraie.
À vous de jouer : Quelle est la réciproque de cette propriété ? Est-elle vraie ?
Solution : (survolez pour afficher)
Réciproque de la propriété n°3 : Si un chat porte un bandeau, alors il est vert.
Cette réciproque est vraie car tous les chats qui ont un bandeau sont verts.
Comme la propriété et sa réciproque sont vraies, on peut dire que les propositions « le chat est vert » et « le chat porte un bandeau » sont équivalente.
On peut écrire cette équivalence à l'aide de la propriété ci-dessous :
Propriété n°4 : Un chat est vert si et seulement si il a un bandeau.
Notez l'emploi du mot clef « si et seulement si ». C'est ce mot clef qui permet de dire que la propriété est vraie dans le deux sens :
- Si le chat est vert alors il est a bandeau
- Si le chat a un bandeau alors il est vert
Considérons maintenant à la propriété ci-dessous :
Propriété n°5 : Si un chat n'a pas de chapeau alors il n'est pas rouge.
Il est possible de parcourir tous les chats pour vérifier que cette propriété est vraie, mais arrêtons nous un moment pour réfléchir.
Nous avions vu que la propriété 1 : « Si un chat est rouge alors il a un chapeau » était vraie.
Il est donc évident que si un chat n'a pas de chapeau alors il n'est pas rouge.
En effet, il ne peut pas être rouge puisque sinon il aurait un chapeau.
Mathématiquement, on dit que la propriété 5 est la contraposée de la propriété 1.
Concrètement, si l'on a une propriété qui dit que « Si A alors B » alors la contraposée de cette propriété est « Si on a pas B alors on a pas A ».
Il ne faut pas confondre avec la réciproque qui est « Si B alors A ».
À vous de jouer : On rappelle la propriété 2 : « Si un chat à un nœud papillon alors il est bleu ». Quelle est la contraposée de la propriété 2 ? Cette contraposée est-elle
vraie ?
Solution : (survolez pour afficher)
La contraposée est « Si un chat n'est pas bleu, alors il n'a pas un nœud papillon ».
Cette contraposée est vraie, on peut trouver tous les chats qui ne sont pas bleus et voir qu'aucun n'a de nœud papillon.
On peut aussi réfléchir et se dire que si un chat n'est pas bleu, alors forcément il n'a pas de nœud papillon car sinon il serait bleu d'après la propriété 2.
En fait, la contraposée d'une propriété vraie est toujours vraie !
On peut même dire qu'une propriété et sa contraposée sont équivalente, c'est-à-dire qu'elles représentent la même chose.
Pour démontrer une propriété, on peut donc démontrer sa contraposée si cela est plus facile. Et c'est quelque chose qui se fait très souvent en mathématiques !
Attention cependant, si la contraposée est toujours vraie, ce n'est pas le cas de la réciproque (elle peut être vraie ou fausse). Nous avons vu des exemples plus haut.
Intéressons-nous maintenant à la propriété ci-dessous :
Propriété n°6 : Si un chat a une écharpe alors il n'est pas blanc.
À vous de jouer : Cette propriété est-elle vraie ?
Pour vous éviter de devoir remonter la page, je remets les chats ci-dessous :
Solution : (survolez pour afficher)
Cette propriété est vraie. Mais comment avez-vous vérifié ?
Une première possibilité est de lister tous les chats ayant une écharpe et de vérifier qu'aucun de ces chats n'est blanc :
Cette possibilité est la plus logique. Mais peut être avez-vous vérifié la propriété d'une autre manière en listant tous les chats blanc et en vérifiant qu'aucun ne possédait une écharpe :
Cette façon de vérifier qui est plus rapide (il est plus simple de repérer les chats blanc que de repérer ceux ayant une écharpe) est tout à fait valable. Je vous laisse réfléchir à ce sujet.
En réalité, la deuxième méthode revient à avoir recours à la contraposée.
La contraposée de la propriété 6 est « Si l'on n'a pas le chat n'est pas blanc, alors on n'a pas le chat a une écharpe ».
Ce qui dans un français plus correct donne : « Si le chat est blanc alors le chat n'a pas d'écharpe » (la double négation s'annule).
Or nous avons vu que propriété et contraposée étaient équivalentes. Il suffit donc de vérifier que « Si un chat est blanc alors il n'a pas d'écharpe » pour vérifier la propriété 6.
Prenons maintenant les deux propriétés ci-dessous (elles sont vraies, vous pouvez le vérifier si vous le souhaitez) :
Propriété n°7 : Si un chat est jaune, alors il a une machine à écrire.
Propriété n°8 : Si un chat a une machine à écrire, alors il n'a pas de collier.
À vous de jouer : Quelle propriété peut-on déduire de ces deux propriétés ?
Solution : (survolez pour afficher)
On en déduit la propriété :
Propriété n°9 : Si un chat est jaune, alors il n'a pas de collier.
En effet, si un chat est jaune, alors il a une machine à écrire d'après la propriété 7. Et donc il n'a pas de collier d'après la propriété 8.
On rajoute maintenant la propriété ci-dessus (vous pouvez vérifier qu'elle est vraie) :
Propriété n°10 : Si un chat est rose, alors il a un collier.
À vous de jouer : Quelle propriété peut-on déduire des propriétés 8 et 10 ?
Solution : (survolez pour afficher)
On peut en déduire la propriété :
Propriété n°11 : Si un chat a une machine à écrire, alors il n'est pas rose.
En effet la contraposée de la propriété 10 nous dit que si un chat n'a pas de collier alors il n'est pas rose. Donc en combinant avec la propriété 8 on obtient la propriété 11.
On pouvait également en déduire la propriété :
Propriété n°12 : Si un chat est rose, alors il n'a pas de machine à écrire.
En effet la contraposée de la propriété 8 nous dit que si un chat a un collier alors il n'a pas de machine à écrire. Donc en combinant avec la propriété 10 on obtient la propriété 12.
Vous pouviez donc avoir trouvé au choix la propriété 11 ou la propriété 12.
Une personne avisée se sera rendu compte que de toute façon les propriétés 11 et 12 sont équivalentes puisque l'une est la contraposée de l'autre.
Pour aller plus loin :
En mathématiques, « Si A alors B » peut aussi s'écrire A ⇒ B que l'on lit « A implique B ».
La notation A ⇐ B existe aussi. Elle signifie « Si B alors A » et revient à écrire B ⇒ A.
En combinant les deux notations précédente, on obtient la notation A ⇔ B qui signifie « A est équivalent à B » autrement dit « A si et seulement si B ».
C'est la raison pour laquelle les professeurs de mathématiques n'aiment pas quand vous utilisez le symbole ⇒ comme une simple flèche, ce symbole ayant une signification particulière en mathématiques.
Les images des chats proviennent du site robohash.org